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    Emma D'ANIELLO

    Insegnamento di ANALISI MATEMATICA II

    Corso di laurea in FISICA

    SSD: MAT/05

    CFU: 12,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 108,00

    Periodo di Erogazione: Primo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Programma sintetico:

    -Successioni e serie di funzioni

    -Spazi metrici e spazi di Banach. Successioni e funzioni continue
    Lo spazio Rn

    -Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Calcolo differenziale

    -Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy

    -Curve e integrali curvilinei

    -Forme differenziali lineari. Campi vettoriali. Lavoro

    -Integrali multipli

    -Superfici e integrali di superficie

    -Funzioni implicite

    Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti trattati.

    Alla fine del corso, nella pagina docenti (Emma D’Aniello), sarà pubblicato il programma svolto dettagliato: http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058041

    Testi di riferimento

    1) N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore, 1998.
    2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli Editore, 2009.
    3) E. Giusti, Analisi Matematica Due, Bollati Boringhieri Editore, 2003.

    Per gli esercizi:
    4) S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica. Calcolo infinitesimale, volume 1 e volume 2, Zanichelli Editore, 2011.
    5) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume I (parte prima e parte seconda) e volume II (parte prima e parte seconda), Liguori Editore, 1994.
    6) E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume 2, Bollati Boringhieri Editore, 1992.
    7) J. Stewart, Calculus. Early Transcendentals. Eight Edition. Nelson Education, Ltd, 2014 (https://www.pdfdrive.net/calculus-early-transcendentals-8th-ed-2015pdf-d27097109.html).

    Obiettivi formativi

    Obiettivo del corso è fare acquisire agli studenti una buona conoscenza della teoria e delle applicazioni del calcolo differenziale per funzioni di più variabili, delle serie di funzioni, del calcolo integrale per funzioni di più variabili, delle forme differenziali e degli integrali curvilinei, e delle equazioni differenziali.
    Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno avere acquisito familiarità con i concetti relativi ai vari punti del programma, dimostrare di essere in grado di esporli con chiarezza e di applicarli.

    Prerequisiti

    L’approccio al programma formativo richiede la conoscenza degli strumenti propri dell’Analisi Matematica 1 e della Geometria 1, in particolare dell’algebra lineare, della geometria analitica, e del calcolo infinitesimale e differenziale in una variabile.
    Per sostenere le prove d’esame (scritta e orale), lo studente deve aver superato gli esami di Analisi Matematica 1 e di Geometria 1.

    Metodologie didattiche

    Il corso è articolato in 72 ore di lezione frontali e 36 ore di esercitazioni, il tutto svolto in aula.
    La frequenza non è obbligatoria ma fortemente incoraggiata.

    Metodi di valutazione

    L'esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Sia per partecipare alla prova scritta che per partecipare alla prova orale è necessario esibire, subito prima dell’inizio delle stesse, un documento di riconoscimento in corso di validità. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria, ma non sufficiente, per il superamento dell’esame. Il superamento della prova scritta garantisce solo l’ammissione (con giudizio sufficiente, discreto, buono, ottimo) all’esame orale. Il voto sarà assegnato all’esame orale in trentesimi.
    La prova scritta, della durata di circa 2 ore, si svolge in aula e consiste nella risoluzione di un numero di esercizi su argomenti del programma che può variare da cinque a sette, per un pari peso totale. Non è consentito usare calcolatrice e consultare testi e/o materiali didattici. É previsto l’esonero dalla prova scritta per gli studenti che abbiano frequentato regolarmente le lezioni e le esercitazioni e che abbiano superato le due prove intercorso. Queste ultime si tengono una a metà corso e una a fine corso, e consistono nello svolgimento di esercizi sulla prima metà del programma e sulla seconda metà del programma, rispettivamente.
    La prova orale consiste nella trattazione e nella discussione di argomenti del programma svolto a lezione.
    L’esame mira a verificare il livello di familiarità con i concetti relativi ai vari punti del programma, la capacità di esporli con chiarezza e di applicarli.

    Altre informazioni

    Le tracce delle prove scritte d’esame, ed eventuale ulteriore materiale didattico, sono reperibili sul sito del Dipartimento (http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058041), alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo).

    Programma del corso

    -Successioni e serie di funzioni
    Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

    -Spazi metrici e spazi di Banach. Successioni e funzioni continue.
    Lo spazio R^n
    Lo spazio R^n. Spazi metrici. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Lo spazio vettoriale Rn e il suo duale. Spazi normati. Lo spazio normato Rn. Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Funzioni Lipschitziane. Contrazioni.
Insiemi compatti. Funzioni continue su insiemi compatti.
    Aperti connessi in R^n

    -Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Calcolo differenziale
    Nozioni di topologia in R^n. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Gradiente. Differenziabilità. Derivate direzionali. Funzioni omogenee. Formula di Taylor per funzioni di più variabili al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano.
    Forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi. Funzioni a valori vettoriali

    -Equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy
    Approfondimento teorico sull’integrale generale di una equazione differenziale lineare. Il problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Il teorema di esistenza e unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni. Analisi qualitativa delle soluzioni

    -Curve e integrali curvilinei
    Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. Il prodotto vettoriale in R^3

    -Forme differenziali lineari. Campi vettoriali. Lavoro
    Campi conservativi.
Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Campi irrotazionali

    -Integrali multipli
    Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione. Formule di Gauss- Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli

    -Superfici e integrali di superficie
    Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametri.
Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie. Formula di Stokes. Teorema della divergenza.

    -Funzioni implicite
    I teoremi di Dini. Invertibilità locale e globale. Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Synthetic Syllabus:

    - Sequences and series of functions

    - Metric spaces and Banach spaces. Sequences and continuous functions.
    The space R^n

    - Functions of several variables. Limits. Continuity. Differential calculus

    - Ordinary differential equations. Cauchy's problem

    - Curves and line integrals

    - Linear differential forms. Vector fields. Work

    - Multiple integrals

    - Surfaces and surface integrals

    - Implicit functions

    Exercises on each of the above mentined topic are an integral part of the program.

    At the end of the course, online, in my web-page (Emma D'Aniello), the detailed program will be published: Exercises on each of the above mentined topic are an integral part of the program.

    At the end of the course, online, in my web-page (Emma D'Aniello), the detailed treated program will be published:http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058041

    Textbook and course materials

    1) N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore, 1998.
    2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli Editore, 2009.
    3) E. Giusti, Analisi Matematica Due, Bollati Boringhieri Editore, 2003.

    For exercises:
    4) S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica. Calcolo infinitesimale, volume 1 e volume 2, Zanichelli Editore, 2011.
    5) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume I (parte prima e parte seconda) e volume II (parte prima e parte seconda), Liguori Editore, 1994.
    6) E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume 2, Bollati Boringhieri Editore, 1992.
    7) J. Stewart, Calculus. Early Transcendentals. Eight Edition. Nelson Education, Ltd, 2014 (https://www.pdfdrive.net/calculus-early-transcendentals-8th-ed-2015pdf-d27097109.html).

    Course objectives

    The aim of the course is to provide the students with a good knowledge of the theory and the applications of differential calculus for functions of several variables, of series of functions, of integral calculus for functions of several variables, of differential forms and of curvilinear integrals, and of equations differentials.
    At the end of the course, the students will be acquainted with the concepts related to the various points of the program, and they will have to demonstrate to be able to explain them clearly and to apply them.

    Prerequisites

    The approach to the program requires knowledge of the tools of Mathematical Analysis 1 and of Geometry 1, in particular linear algebra, analytical geometry, and infinitesimal and differential calculus in one variable.
    In order to pass the exam (written and oral), the student must have passed Mathematical Analysis 1 and Geometry 1.

    Teaching methods

    The course is divided into 72 hours of lectures and 36 hours of exercises, all held in the classroom.
    Attendance is not mandatory but strongly encouraged.

    Evaluation methods

    The exam includes a written and an oral part, both mandatory. Both, to participate in the written test and to participate in the oral exam, a valid ID document must be shown immediately before.
    Passing the written test is a necessary but not sufficient condition for passing the exam. Passing the written test only guarantees access (with evaluation: sufficient, discreet, good, very good, excellent) in the oral examination.
    The grade will be assigned after the oral examination, using a 0–30 scale (where the passing grade is 18 out of 30).
    The written test, that lasts about 2 hours, takes place in the classroom and consists in the resolution of a number of exercises, that can vary from five to seven, for an equal total weight, on topics of the program. It is not allowed to use a calculator and consult books and/or teaching material. Optional intermediate written tests are planned for the students who regularly attend the course, and the students who pass them are only guaranteed the admission (full, with reserve, or with extreme reserve) to the oral examination. These are held one in the middle and one at the end of the course, and consist of exercises on the first half of the program and on the second half of the program, respectively.
    The oral exam consists in the discussion of topics of the program carried out in class.
    The exam aims to verify the level of familiarity with the concepts related to the various points of the program, the ability to expose them clearly and to apply them.

    Other information

    The exercises of the written tests, and any additional teaching material, can be found on the Department's website (http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058041), under the heading "Educational Material" (Materiale Didattico) which leads to the SharePoint of the University.

    Course Syllabus

    - Sequences and series of functions
    Sequences of functions: pointwise and uniform convergence. Series of functions. Power series. Taylor series. Fourier series

    - Metric spaces and Banach spaces. Sequences and continuous functions
    The space R^n. Metric spaces. Sequences in a metric space. Continuous functions. Vector spaces. Linear applications. The vector space R^n and its dual. Normed spaces. The normed space R^n. Complete metric spaces. Banach spaces. Lipschitz functions. Contractions. Compact sets. Continuous functions on compact sets.
    Connected open sets in R^n

    - Functions of several variables. Limits. Continuity. Differential calculus
    Notions of topology in R^n. Limits and continuity. Partial derivatives. Higher order derivatives. Gradient. Differentiability. Directional derivatives. Homogeneous functions.
    Second order Taylor’s formula for functions of several variables with Lagrange’s form of the remainder and with Peano’s form of the remainder.
    Defined quadratic forms, semidefinite and indefinite. Relative maxima and minima. Vector valued functions

    - Ordinary differential equations. Cauchy problem
    Theoretical study of the general integral of a linear differential equation. Cauchy problem. Cauchy theorem of existence and local uniqueness. The theorem of existence and global uniqueness. Extensibility of solutions. Qualitative analysis of solutions

    - Curves and line integrals
    Regular curves. Oriented curves. Length of a curve. Line integral of a function. Curvature of a plane curve. The vector product in R^3

    - Linear differential forms. Vector fields. Work
    Conservative fields. Linear differential forms. Curvilinear integral of a linear differential form. Exact differential forms. Irrotational fields

    - Multiple integrals
    Double integrals on normal domains. Reduction formulas. Gauss-Green formulas. Divergence theorem. Stokes formula. Change of variables in double integrals. Triple integrals

    - Surfaces and surface integrals
    Regular surfaces. Local coordinates and change of parameters. Tangent plan and normal unit. Area of a surface. Orientable surfaces. Surfaces with boundary. Surface integrals. Stokes formula. Divergence theorem

    - Implicit functions
    Dini's theorems. Local and global invertibility. Constrained maxima and minima. Lagrange multipliers

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