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    Giuseppina DI BLASIO

    Insegnamento di ANALISI MATEMATICA I

    Corso di laurea in FISICA

    SSD: MAT/05

    CFU: 10,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 92,00

    Periodo di Erogazione: Primo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Teoria degli insiemi ed elementi di logica. Numeri naturali, Principio di Induzione e applicazioni. Numeri reali. Funzioni reali: prime proprietà, funzioni elementari; limiti di funzioni e successioni. Serie numeriche.
    Calcolo differenziale e integrale: definizioni, regole di calcolo, teoremi del calcolo differenziale; integrale di Riemann, teorema fondamentale del calcolo; integrali impropri. Metodi di risolutivi per alcune classi di equazioni differenziali ordinarie.

    Testi di riferimento

    Marcellini – Sbordone, Analisi Matematica Uno, Ed. Liguori
    Pagani – Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
    Alvino – Carbone – Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2 Ed Liguori
    Marcellini – Sbordone, Esercitazioni di Matematica I volume parte 1 e 2, Ed. Liguori

    Obiettivi formativi

    Il corso intende fornire allo studente gli strumenti essenziali del calcolo differenziale ed integrale con particolare riferimento al caso delle funzioni di una sola variabile reale.
    Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
    Obiettivo del corso sarà quello di rendere gli studenti capaci di enunciare e dimostrare i principali risultati dell’insegnamento, inoltre attraverso le esercitazioni un ulteriore scopo del corso sarà quello di stimolare un’autonoma capacità di giudizio in modo da sviluppare un approccio critico allo studio e di riuscire ad applicare in modo opportuno le conoscenze teoriche acquisite.
    Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
    Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali dell’insegnamento ed essere capace di esporli in modo chiaro e rigoroso, dovrà essere in grado di riformulare semplici problemi concreti in termini analitici e di trarre conclusioni in modo critico ed autonomo, dovrà aver acquisito un’appropriata capacità di apprendimento e di ragionamento in modo da poter applicare le conoscenze acquisite in modo opportuno anche in altri insegnamenti.

    Prerequisiti

    Propedeuticità: nessuna.
    Prerequisiti: conoscenze di aspetti elementari della matematica acquisite durante la scuola secondaria superiore.

    Metodologie didattiche

    Le 88 ore previste sono suddivise in 56 ore di lezioni frontali alla lavagna e 36 ore di esercitazioni numeriche in aula opportunamente suddivise rispetto gli argomenti da trattare durante l’insegnamento.

    Metodi di valutazione

    L’esame consiste nel superamento di una prova scritta e di una prova orale. Entrambe le prove sono obbligatorie. Il superamento della prova scritta è propedeutico all’esame orale.
    Durante il corso si effettueranno due prove intercorso, il cui superamento significherà il superamento della prova scritta.
    L’esame orale è volto a valutare la capacità di ragionamento e di collegamento tra i vari argomenti svolti durante il corso. Saranno, inoltre, discussi gli aspetti trattati durante lo scritto. È necessaria l’iscrizione elettronica alle prove scritte, alle prove orali e alle prove intercorso.
    Si ricorda inoltre che per sostenere l’esame, sia scritto che orale, è necessario portare con sé un documento d’identità valido.

    Altre informazioni

    Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente.
    Le ore di esercitazione verranno completate da attività di tutoraggio.

    Programma del corso

    I numeri e le funzioni reali: Cenni di teoria degli insiemi; Enti primitivi: unione, intersezione differenza, prodotto cartesiano; numeri naturali e principio di induzione; introduzione ai numeri reali, assioma di completezza; proprietà archimedea; caratterizzazione di estremo superiore ed estremo inferiore; Insiemi contigui e relativa caratterizzazione.
    Funzioni e rappresentazione cartesiana; funzioni composte, funzioni iniettive, suriettive, invertibili; funzioni monotone; funzioni limitate; funzioni simmetriche, funzioni periodiche; restrizioni e prolungamenti di funzioni; funzioni elementari e loro grafici.
    Successioni: Definizione di successione di numeri reali; limite di successioni; definizione e teoremi sui limiti; operazioni con i limiti; forme indeterminate; successioni monotone; il numero di Nepero; confronti e stime asintotiche, criterio di convergenza di Cauchy; punti di accumulazione; teorema di Bolzano; successioni estratte e proprietà connesse. Caratterizzazione dei chiusi e dei compatti.
    Serie numeriche: Definizione di serie numerica, carattere di una serie; operazioni con le serie; serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata; serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto, criterio degli infinitesimi; serie a segni alterni; assoluta convergenza e proprietà; serie a segni alterni.
    Limiti di funzioni: limiti di funzioni; definizione di limite desto e sinistro, proprietà dei limiti di funzioni, operazioni con i limiti di funzioni; limiti di funzioni composte; teorema ponte; funzioni continue e relative proprietà, classificazione delle discontinuità ed esempi; continuità delle funzioni elementari; massimi e minimi assoluti: teorema di Weierstrass, il teorema degli zeri, il teorema dei valori intermedi, Caratterizzazione delle funzioni monotone e continue, continuità delle funzioni inverse; funzioni uniformemente continue; limiti notevoli;
    Calcolo differenziale: Definizione di derivata e significato geometrico, esempi di funzioni derivabili e non derivabili, equazione della retta tangente, punti di non derivabilità, regole di derivazione e derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi, teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy; criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo e delle funzioni monotone e strettamente monotone in un intervallo, condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi, funzioni convesse e concave, flessi, asintoti, studio del grafico di una funzione, Teorema di de l'Hospital, calcolo dei limiti che si presentano in forma indeterminata, infinitesimi e infiniti; formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.
    Calcolo integrale: Definizione di integrazione indefinita e di primitiva, integrale di Riemann e proprietà, misurabilità del rettangoloide, integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione: integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrali impropri.
    Equazioni Differenziali: Definizioni ed esempi: il modello di Malthus. Cenni sul problema di Cauchy. Tecniche risolutive per equazioni differenziali del primo ordine lineari e non lineari: equazioni a variabili separabili, equazioni del tipo: y’ = g(y/x), equazioni del tipo: y’ = g(ax+by). Tecniche risolutive per equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Introduction to logic and set theory. Natural numbers, Principle of Mathematical Induction, and applications. Real numbers. Real functions: first properties, elementary functions; limits of functions, and sequences. Numerical series.
    Differential and integral calculus: defined, calculation rules, differential calculus theorems; Riemann integral, fundamental theorem of calculus; improper integrals. Solution methods for some classes of ordinary differential equations.

    Textbook and course materials

    Marcellini – Sbordone, Analisi Matematica Uno, Ed. Liguori
    Pagani – Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
    Alvino – Carbone – Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2 Ed Liguori
    Marcellini – Sbordone, Esercitazioni di Matematica I volume parte 1 e 2, Ed. Liguori

    Course objectives

    This course aims to provide students with the fundamental tools of differential and integral calculus for functions of a single real variable.
    Ability to apply knowledge and understanding:
    The course will aim to make students able to enunciate and demonstrate the main results of the course. Furthermore, through the exercises, a further aim of the course will be to stimulate an autonomous judgment to develop a critical approach to study and to be able to properly apply the theoretical knowledge acquired.
    Ability to apply knowledge and understanding:
    At the end of the course, the student must have acquired the fundamental concepts of teaching and the student will be able to present them clearly and rigorously, he must be able to reformulate simple concrete problems in analytical terms and to draw conclusions critically and autonomously. Finally, he must have acquired an appropriate learning and reasoning ability to apply the knowledge acquired properly also in other teachings.

    Prerequisites

    Basic computation and general mathematical knowledge acquired during upper secondary school.

    Teaching methods

    The 88 hours are divided into 56 hours of lectures on the blackboard and 36 hours of numerical exercises appropriately divided with respect to the topics treated during the teaching.

    Evaluation methods

    The exam consists of passing a written test and an oral test. Both tests are mandatory. Passing the written test is preparatory for the oral exam.
    During the course, two tests will take place, the passing of which will mean passing the written test.
    The oral exam is aimed at assessing the reasoning ability and connection between the various topics carried out during the course. Furthermore, the aspects dealt with during the writing will be discussed. Electronic enrollment is required for all tests.
    Please also note that to take the exam, both written and oral, it is necessary to bring a valid identity document with you.

    Other information

    For reception hours, please refer to the teaching section of the teacher's website.
    The training hours will be completed by tutoring activities.

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