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    Giuseppina TERZO

    Insegnamento di MATEMATICA

    Corso di laurea in SCIENZE BIOLOGICHE

    SSD: MAT/01

    CFU: 12,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 96,00

    Periodo di Erogazione: Primo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Elementi basilari di analisi matematica, calcolo combinatorio, calcolo delle probabilità: studi di successioni di numeri reali e di funzioni reali di una variabile, con particolare riguardo ai limiti, al calcolo differenziale e al calcolo integrale; studio degli strumenti per identificare le distribuzioni di sottoinsiemi particolari di un insieme, e calcolarne il numero.

    Testi di riferimento

    P. Marcellini e C. Sbordone, Istituzioni di Matematica, Liguori.
    M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
    M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.

    Obiettivi formativi

    Fornire agli studenti gli strumenti basilari per quantificare, interpretare, gestire ed elaborare i risultati delle esperienze, rendendoli in grado di congetturarne, controllarne e descriverne in termini quantitativi e tramite relazioni formali le regolarità.

    Prerequisiti

    Una buona conoscenza dell’Algebra, della Geometria e della trigonometria elementare.

    Metodologie didattiche

    ll corso è articolato in 96 ore di lezioni frontali svolte dal docente in cui verrà esposta la teoria e verrà applicata a molteplici esempi e risoluzioni di esercizi. Nel suo lavoro personale lo studente dovrà assimilare conoscenze e concetti di base della matematica e risolvere esercizi.
    Il corso prevede, inoltre, l’applicazione degli argomenti esposti attraverso lo svolgimento di esercitazioni in aula sugli argomenti trattati e sotto la supervisione del docente o di un tutor. Lo svolgimento di esercizi a casa è sottoposto a chiarimenti e a correzioni da parte del docente negli orari di ricevimento.

    Metodi di valutazione

    L’esame consiste nel superamento, con una votazione di almeno 16/30, di una prova scritta, della durata di 120 minuti, dove lo studente, deve svolgere quattro esercizi, consistenti in uno studio di funzione, svolgimento di un limite, di un integrale e un esercizio di calcolo delle probabilità. Il superamento della prova scritta è propedeutico all’esame orale.
    Durante lo svolgimento del corso sono somministrati esercizi da svolgere a casa, con correzione in aula da parte del docente, al fine di stabilire le difficoltà incontrate dagli studenti prima di affrontare la prova scritta.
    L’esame orale è volto a valutare la capacità di ragionamento e di collegamento tra i vari argomenti del corso ed è costituito da domande rivolte alla verifica della conoscenza di teoremi e definizioni.
    La valutazione finale sarà espressa in trentesimi e terrà conto dell’esito della prova orale e della prova scritta.

    Altre informazioni

    Il docente è disponibile per ricevimento studenti nei giorni indicati sulla scheda insegnamento e su richiesta inoltrata via e-mail.

    Programma del corso

    PREMESSE - Elementi di teoria degli insiemi: operazioni fra insiemi e funzioni. Numeri naturali, interi e razionali. Numeri reali. Funzione valore assoluto e proprietà. Massimo e minimo; estremo superiore ed estremo inferiore. Funzioni elementari: potenza, radice, esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche. Determinazione di insiemi di definizione. Topologia della retta reale: intervalli, intorni e punti di accumulazione: teorema di Bolzano.

    Calcolo Combinatorio: Fattoriale di un numero naturale. Disposizioni semplici. Permutazioni. Combinazioni. Coefficienti binomiali. Potenza n-esima di un binomio. Potenza n-esima di un polinomio. Disposizioni con ripetizione.
    Elementi di Calcolo delle Probabilità: Definizione classica della probabilità. Applicazioni. Probabilità condizionata. Esempi e problemi.
    SUCCESSIONI - Definizione di successione. Esempi: progressioni aritmetiche, geometriche e successione di Fibonacci. Successioni estratte. Definizione di limite (finito o infinito). Teorema di unicità del limite. Limitatezza di una successione convergente. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Successioni monotone e relativo teorema. Il numero di Nepero.
    Funzioni reali di una variabile reale: Insiemi di numeri reali, limitati, inferiormente limitati, superiormente limitati, illimitati. Intervalli. Punti di frontiera, punti di accumulazione e punti di aderenza di un insieme di R. Funzioni. Dominio. Codominio. Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo. Funzioni monotone. Limite di una funzione in un punto di accumulazione del dominio. Operazioni sui limiti. Teoremi sui limiti. Asintoti orizzontali. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Funzioni elementari. Limiti in un punto del dominio. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Asintoti verticali. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema della permanenza del segno.
    Calcolo differenziale: Rapporto incrementale in un punto di continuità. Derivate destra e sinistra in un punto di continuità. Derivata. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della somma, del prodotto, del rapporto di funzioni derivabili. Derivata delle funzioni composte. Derivate di ordine superiore. Crescenza e decrescenza di una funzione in un punto. Punti di massimo e minimo. Punti di flesso orizzontale ed obliquo. Punti di non derivabilità. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Regola di De L’Hopital per il calcolo dei limiti di funzioni in forma indeterminata. Cenni sul differenziale e sulla formula di Taylor.
    Calcolo Integrale: Area di un rettangoloide. Definizione di integrale definito. Additività degli integrali. Integrali di combinazioni lineari di funzioni. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Metodi di integrazione.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Basic elements of Calculus, combinatorial analysis and theory and applications of probabilities: study of sequences of real numbers as well as of real functios of one variable, with special concern to limits, differential calculus and integral calculus; study of the tools to identify and enumerate some distributions of particular subsets of a set.

    Textbook and course materials

    P. Marcellini e C. Sbordone, Istituzioni di Matematica, Liguori.
    M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
    M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli.

    Course objectives

    To give the students at least all the basic tools to quantify, interpret, manage and process the results of experiences, as well as to enable them to conjecture, check and describe in quantitative terms and through formal relations their regularities.

    Prerequisites

    A good knowledge of elementary Algebra, Geometry and trigonometry.

    Teaching methods

    The course consists in 96 hours of lectures carried out by the teacher in which will be described the theory, applied to different examples and to the resolution of exercises. During its individual work, the student must to assimilate knowledge and basic concepts of mathematics and solve exercises. The course also includes the application of the topics presented through classroom exercises on the topics covered and under the supervision of the teacher or a tutor. Students have opportunities to ask explanations or to correct their homework exercises during the office hours indicated by the teacher in the timetable.

    Evaluation methods

    The exam consists in passing, with a vote of at least 16/30, a written test, lasting 120 minutes, where the student must perform four exercises, consisting of a function study, a limit, a integral and a probability calculation exercise. Passing the written test is a prerequisite for the oral examination. During the course the students are given exercises to do at home, with correction in the classroom by the teacher, in order to establish the difficulties encountered by the students before the written test. The oral exam is aimed at evaluating the reasoning and connection skills between the various topics of the course and consists of questions aimed at verifying the knowledge of theorems and definitions. The final evaluation will be expressed in thirtieths and will take into account the outcome of the oral test and the written test.

    Other information

    The teacher is available to receive students on the basis of the timetable and by e-mail.

    Course Syllabus

    PREMISES - Elements of set theory: operations between sets and functions. Natural, integer and rational numbers. Real numbers. Absolute value function and property. Maximum and minimum; upper and lower extremity. Elementary functions: power, root, exponential, logarithm and trigonometric functions. Determination of definition sets. Topology of the real line: intervals, surroundings and accumulation points.
    Combinatorics: Factorial of a natural number. Simple provisions. Permutations. Combinations. Binomial coefficients. Power n-th of a binomial. N-th power of a polynomial. Provisions with repetition.
    Elements of probability calculation: The classic of probability. Applications. Conditional probability. Example and problems.
    SUCCESSIONS - Definition of succession. Examples. Extracted successions. Definition of limit (finite or infinite). Theorem of uniqueness of the limit. Boundedness of a convergent sequence. Theorem of the permanence of the sign. Comparison theorems. Operations with limits. Indefinite forms. Notable limits. Monotonic sequences and related theorem. The number of Nepero.
    FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE, LIMITS AND CONTINUITY - Real functions of real variable. Graph of a function. Limited functions, upper and lower extremities, maximum and minimum absolute. Even, odd, periodic functions. Monotone functions. Composite functions. Invertible functions, inverse functions. Properties and graphs of elementary functions (linear functions, power functions, exponential and logarithmic functions, trigonometric functions and inverse trigonometric functions). Definition of finite and infinite limit. Vertical asymptotes and horizontal asymptotes. Theorem of uniqueness of the limit. Theorem of the permanence of the sign. Comparison theorems. Operations with limits. Indefinite forms. Notable limits. Theorem on the limit of a compound function. Infinite and infinitesimal. Continuity of a function at a point and in a set. Points of discontinuity. Theorem of the existence of the zeros. Theorem of intermediate values. Weierstrass theorem.
    DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULATION - Definition of derivative. Geometric meaning of the derivative. Non derivability points. Continuity of derivable functions. Derivative of elementary functions. Derivative of the sum, of the product and of the relationship of two functions. Derivative theorem of compound functions. Derivative theorem of inverse functions. Maximum and minimum relative. Fermat, Rolle and Lagrange theorems. Derivable monotonic functions: criterion of monotony. Characterization of null-derived functions. De L'Hôpital theorem. Derivatives of higher order. Flexed. Definition and properties of the defined integral. Theorem of the media. Integral function. Fundamental theorem of integral calculus. Primitive. Fundamental formula of the integral calculation. Definition and properties of indefinite integrals. Calculation of some notable indefinite integrals.

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